均值不等式的推广与应用_均值不等式的推广|环球播资讯
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1、用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。
2、 引理:设A≥0,B≥0,则(A+B)n≥An+nAn-1B。
3、 注:引理的正确性较明显,条件A≥0,B≥0可以弱化为A≥0,A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。
4、 原题等价于:((a1+a2+…+an )/n)n≥a1a2…an。
5、 当n=2时易证; 假设当n=k时命题成立,即 ((a1+a2+…+ak )/k)k≥a1a2…ak。
6、那么当n=k+1时,不妨设ak+1是a1,a2 ,…,ak+1中最大者,则 k ak+1≥a1+a2+…+ak。
7、 设s=a1+a2+…+ak, ((a1+a2+…+ak+1)/(k+1))k+1 =(s/k+(k ak+1-s)/(k(k+1)))k+1 ≥(s/k)k+1+(k+1)(s/k)k(k ak+1-s)/k(k+1) 用引理 =(s/k)k ak+1 ≥a1a2…ak+1。
8、用归纳假设。
关键词:
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